Что это и что показывает
Биномиальная вероятность отвечает на вопрос: какова вероятность получить ровно k «успехов» в серии из n независимых одинаковых испытаний, если в каждом успех случается с вероятностью p? Классические примеры — число орлов в n бросках монеты, число бракованных деталей в партии, число попаданий в серии бросков. Каждое отдельное испытание называется испытанием Бернулли (два исхода: успех/неудача).
Формула и откуда она
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
Разберём три множителя. pᵏ — вероятность того, что k нужных успехов случились (испытания независимы, поэтому вероятности перемножаются). (1 − p)ⁿ⁻ᵏ — вероятность того, что остальные n − k испытаний дали неудачу. C(n, k) = n! / (k!·(n−k)!) — число сочетаний: сколькими способами k успехов можно расставить среди n испытаний (порядок успехов нам безразличен). Произведение учитывает все эти равновероятные расстановки.
Ожидаемое (среднее) число успехов и дисперсия:
E[X] = n·p, Var[X] = n·p·(1 − p)
Как посчитать вручную (по шагам)
- Определите n (число испытаний), p (вероятность успеха), k (нужное число успехов).
- Вычислите число сочетаний C(n, k) = n! / (k!·(n−k)!).
- Возведите p в степень k.
- Возведите (1 − p) в степень n − k.
- Перемножьте все три множителя — получите P(X = k).
- При необходимости найдите среднее E[X] = n·p.
Разбор примера
Бросаем честную монету n = 5 раз (p = 0.5). Какова вероятность ровно k = 3 орлов?
Сочетания: C(5, 3) = 5! / (3!·2!) = 120 / (6·2) = 120 / 12 = 10.
pᵏ: 0.5³ = 0.125.
(1−p)ⁿ⁻ᵏ: 0.5² = 0.25.
Вероятность: P = 10 · 0.125 · 0.25 = 10 · 0.03125 = 0.3125 (31.25%).
Среднее: E[X] = 5 · 0.5 = 2.5 орла. То, что наиболее вероятный исход (k = 2 или 3) близок к среднему, согласуется с результатом.
Где применяется / интерпретация
Биномиальная модель используется в контроле качества (доля брака), медицине (доля выздоровевших), маркетинге (отклик на рассылку), азартных играх. Условия применимости: фиксированное число испытаний, два исхода, постоянная p, независимость. Если интересует «хотя бы k» успехов, складывают вероятности для k, k+1, …, n; удобный приём — «не менее одного» = 1 − P(0). При больших n биномиальное распределение приближается к нормальному (когда np и n(1−p) велики).
Частые ошибки
- Забывают множитель C(n, k) и считают только pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ — это вероятность одной конкретной последовательности, а не «ровно k».
- Применяют формулу при зависимых испытаниях или меняющейся p (например, выбор без возвращения — там гипергеометрическое распределение).
- Путают «ровно k» и «не менее k»: для последнего нужна сумма вероятностей.
- Ошибаются в показателях: для неудач степень равна
n − k, а неk. - Считают, что E[X] = n·p всегда целое — это среднее, оно может быть дробным.