Что это и что показывает
Комбинаторика считает, сколькими способами можно выбрать или расставить объекты. Факториал n! — число перестановок n объектов. Размещения A(n, r) — выбор r объектов из n, когда порядок важен. Сочетания C(n, r) — выбор r из n, когда порядок НЕ важен. Калькулятор находит все три.
Формула и откуда она
Факториал: n! = n · (n−1) · (n−2) · … · 2 · 1, причём 0! = 1 по соглашению.
Размещения: A(n, r) = n! / (n − r)! — первый объект выбираем n способами, второй (n−1), и так r раз.
Сочетания: C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!) — это размещения, делённые на r!, потому что при сочетаниях r! одинаковых по составу наборов отличаются лишь порядком, а он нам не важен.
Как посчитать вручную (по шагам)
- Решите, важен ли порядок: важен — размещения, не важен — сочетания.
- Для факториала перемножьте все целые от 1 до
n. - Для
A(n, r)перемножьтеrмножителей подряд, начиная сnвниз. - Для
C(n, r)возьмитеA(n, r)и разделите наr!. - Сокращайте дроби заранее, чтобы не считать огромные факториалы целиком.
Разбор примера
Из 7 человек выбираем команду из 3. Сколько способов, если порядок не важен?
C(7, 3) = 7! / (3! · 4!) = (7 · 6 · 5) / (3 · 2 · 1) = 210 / 6 = 35.
А если порядок важен (например, распределяем 3 разные роли)?
A(7, 3) = 7! / 4! = 7 · 6 · 5 = 210. Проверка связи: A(7,3) = C(7,3) · 3! = 35 · 6 = 210 ✓.
Где применяется
Комбинаторика — основа теории вероятностей: число благоприятных исходов часто считается через C(n, r). В ЕГЭ это задание 4 (вероятность) и комбинаторные задачи; в IB Mathematics — binomial coefficients и треугольник Паскаля; в AP Statistics — биномиальное распределение. Применяется в лотереях, криптографии, планировании и спортивных турнирах.
Частые ошибки
- Путают сочетания и размещения: «выбрать команду» — сочетания, «распределить призовые места» — размещения.
- Считают
0! = 0— на самом деле0! = 1. - Вычисляют гигантские факториалы целиком вместо сокращения дроби.
- Применяют формулу при
r > n— выбрать больше, чем есть, нельзя (результат 0).