Что это и что показывает
Конус — тело с круглым основанием радиуса r и одной вершиной на высоте h над центром основания. Калькулятор находит образующую (наклонную сторону), объём, боковую и полную поверхность. Я Владимир, преподаю математику; на занятиях показываю, что конус — это «треть цилиндра» по объёму и что для его поверхности нужна не высота, а образующая.
Формула
Образующая (наклонная высота): l = √(r² + h²). Объём: V = 1⁄3 · π · r² · h. Боковая поверхность: Sбок = π · r · l. Полная поверхность: Sполн = π · r · (r + l).
Образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами r и h, поэтому по теореме Пифагора l = √(r²+h²). Именно l, а не h, входит в «площадь поверхности конуса».
Как посчитать вручную (по шагам)
- Найдите образующую:
l = √(r² + h²). - Для объёма посчитайте
πr²hи разделите на 3. - Для боковой поверхности умножьте
π · r · l. - Для полной прибавьте площадь основания
πr². - Итог:
Sполн = πr·(r + l).
Пример
Радиус r = 3, высота h = 4.
Образующая: l = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 ед.
Объём: V = 1⁄3 · π · 3² · 4 = 1⁄3 · π · 36 = 12π ≈ 37.70 куб. ед.
Боковая: Sбок = π · 3 · 5 = 15π ≈ 47.12 кв. ед.
Полная: Sполн = π · 3 · (3 + 5) = 24π ≈ 75.40 кв. ед.
Где применяется
Конус входит в стереометрию ОГЭ и ЕГЭ (тела вращения, задания на объём и поверхность). В быту это объём «рожка», воронки, кучи песка; боковая поверхность — раскрой материала на колпак. В физике конус возникает в задачах на сыпучие тела и потоки. В IB/AP — volume of a cone и slant height (образующая).
Осторожно
- В боковую поверхность подставляют высоту
hвместо образующейl. - Забывают множитель
1⁄3в объёме — получают объём цилиндра. - Считают образующую как сумму
r + hвместо√(r²+h²). - Путают боковую и полную поверхность (последняя включает основание).