Определённый интеграл (численно)

Q: Что такое формула Ньютона-Лейбница?

Аналитический способ: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a) , где F — первообразная f. Этот калькулятор считает численно; нахождение первообразной вручную разберём на занятии.

Definite Integral

∫ₐᵇ f(x)dx методом Симпсона — площадь под кривой.

Определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь между графиком функции и осью x на отрезке от a до b , где площадь под осью считается со знаком минус. Калькулятор берёт интеграл численно , методом Симпсона: первообразную искать не нужно, поэтому работает даже для функций, у которых её нельзя…

Что считает: Определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь между графиком функции и осью x на отрезке от a до b , где площадь под осью считается со знаком минус. Калькулятор берёт интеграл численно , методом Симпсона: первообразную искать не нужно, поэтому работает даже для функций, у которых её нельзя…
Раздел: ∑ Математика
Что на выходе: Результат + формула + пошаговое решение + разбор примера
Стоимость: Бесплатно, без регистрации, прямо в браузере

Как это работает

Определённый интеграл — площадь между графиком f(x) и осью x на [a,b]. Калькулятор считает его методом Симпсона (параболическая аппроксимация) — точно для большинства гладких функций.

Что это и что показывает

Определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь между графиком функции и осью x на отрезке от a до b, где площадь под осью считается со знаком минус. Калькулятор берёт интеграл численно, методом Симпсона: первообразную искать не нужно, поэтому работает даже для функций, у которых её нельзя выразить формулой (например, e^(−x²)).

Формула и откуда она

Отрезок делят на чётное число n равных частей шагом h = (b − a) / n и заменяют функцию на каждой паре отрезков параболой. Суммирование даёт формулу Симпсона:

∫ₐᵇ f(x)dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Коэффициенты чередуются 4 и 2 (крайние — по единице) именно потому, что парабола строится по трём точкам. Метод точен для всех многочленов до третьей степени включительно, а его погрешность убывает как h⁴ — поэтому удвоение числа отрезков уменьшает ошибку примерно в 16 раз.

Если первообразная известна, тот же ответ даёт формула Ньютона — Лейбница: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).

Как посчитать вручную (по шагам)

Проверьте, что n чётное, и найдите шаг h = (b − a)/n.
Вычислите значения функции в узлах x₀ = a, x₁ = a + h, …, xₙ = b.
Сложите: крайние значения с коэффициентом 1, значения в нечётных узлах — с коэффициентом 4, в чётных (кроме крайних) — с коэффициентом 2.
Умножьте сумму на h/3.
Проверьте результат, удвоив n: если ответ почти не изменился, точности достаточно.
Прикиньте порядок по-школьному — площадью прямоугольника (b − a)·f(среднее): это ловит грубую ошибку.

Разбор примера

Посчитаем ∫₀² x² dx при n = 2.

Шаг: h = (2 − 0)/2 = 1. Узлы: x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2. Значения: 0, 1, 4.

Сумма с коэффициентами: 0 + 4·1 + 4 = 8. Умножаем на h/3: (1/3)·8 = 2.667.

Точный ответ по Ньютону — Лейбницу: F(x) = x³/3, значит F(2) − F(0) = 8/3 ≈ 2.667 ✓ Совпало при всего двух отрезках — метод Симпсона точен для парабол.

Где применяется

Через интеграл считают площадь фигуры и объём тела вращения (ЕГЭ профиль, задание на первообразную), работу переменной силы и путь по графику скорости в физике, накопленную величину в экономике. Численные методы — основа инженерных расчётов, где первообразную не выразить: теплопередача, статистика (площадь под кривой нормального распределения), обработка сигналов. В IB это integration, в AP Calculus — definite integral и Riemann sums, причём Симпсон входит в программу BC.

Частые ошибки

Берут нечётное число отрезков — формула Симпсона требует чётного n.
Забывают, что площадь под осью x входит со знаком минус: ∫₋₁¹ x dx = 0, а не «площадь двух треугольников».
Меняют местами пределы и теряют знак: ∫ₐᵇ = −∫ᵦᵃ.
Применяют метод к функции с разрывом внутри отрезка (например, 1/x на [−1, 1]) — интеграл там несобственный, и число на выходе бессмысленно.
Путают коэффициенты 4 и 2 местами — сумма получается заметно другой.

Частые вопросы

Что геометрически означает определённый интеграл?

Это площадь фигуры между графиком функции и осью x на отрезке [a,b]. Части графика ниже оси входят со знаком минус, поэтому интеграл может быть и отрицательным.

Почему метод Симпсона точнее метода прямоугольников?

Прямоугольники приближают функцию ступеньками, а Симпсон — параболами через тройки точек. Парабола повторяет изгиб графика гораздо лучше, поэтому при том же числе разбиений ошибка значительно меньше.

Что значит, что интеграл расходится?

Это значит, что площадь бесконечна или функция не определена на отрезке — например, 1/x на интервале, включающем ноль. Численный метод в таком случае даёт бесконечность, и калькулятор сообщает об этом.

Что такое формула Ньютона-Лейбница?

Аналитический способ: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a), где F — первообразная f. Этот калькулятор считает численно; нахождение первообразной вручную разберём на занятии.

Проекты сети