Почему дроби нельзя складывать, просто сложив числители и знаменатели?

Складывать можно только доли одного размера, поэтому дроби сначала приводят к общему знаменателю. После этого складываются только числители, а знаменатель остаётся общим.

Как разделить одну дробь на другую?

Деление заменяют умножением на перевёрнутую (обратную) дробь: a/b ÷ c/d = a/b · d/c . Поэтому делить на ноль (дробь вида 0/d) нельзя.

Как сократить дробь до несократимой?

Нужно поделить числитель и знаменатель на их НОД. Когда НОД станет равен 1, дробь дальше не сокращается — она несократима.

Зачем при умножении дробей перемножают накрест по диагонали?

Это не отдельное правило, а сокращение до умножения: общий множитель числителя одной дроби и знаменателя другой можно сократить заранее, чтобы получить меньшие числа.

Дроби — сложить, вычесть, умножить, разделить

Обыкновенная дробь a / b — это запись деления: числитель a делят на знаменатель b . Калькулятор выполняет с двумя дробями любое из четырёх действий и, главное, приводит ответ к несократимому виду — именно такой ответ засчитывают на ОГЭ и ЕГЭ. Заодно он показывает промежуточные шаги: общий…

Что это и что показывает

Обыкновенная дробь a / b — это запись деления: числитель a делят на знаменатель b. Калькулятор выполняет с двумя дробями любое из четырёх действий и, главное, приводит ответ к несократимому виду — именно такой ответ засчитывают на ОГЭ и ЕГЭ. Заодно он показывает промежуточные шаги: общий знаменатель, дополнительные множители, сокращение.

Формула и откуда она

Все четыре правила выводятся из одного определения дроби как деления.

a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d)

Почему так: чтобы сложить части, они должны быть частями одного целого. Общий знаменатель b·d всегда подходит (хотя не всегда минимален), и каждую дробь домножают на недостающий множитель: первую на d, вторую на b.

a/b · c/d = (a·c) / (b·d) и a/b : c/d = a/b · d/c = (a·d) / (b·c)

Деление — это умножение на обратную дробь: разделить на c/d значит найти, сколько раз c/d укладывается в a/b, а это то же самое, что умножить на d/c. Последний шаг любого действия — сокращение на НОД числителя и знаменателя.

Как посчитать вручную (по шагам)

Выпишите обе дроби и посмотрите на действие.
Для «+» и «−» найдите общий знаменатель. Быстро — b·d, аккуратно — НОК(b, d): с ним числа меньше и сокращать проще.
Домножьте числители на дополнительные множители и сложите (вычтите) их; знаменатель остаётся общим.
Для «×» перемножьте числители и знаменатели отдельно; для «÷» переверните вторую дробь и умножьте.
Найдите НОД числителя и знаменателя и сократите на него.
Если числитель больше знаменателя, выделите целую часть — так ответ читается легче.

Разбор примера

Посчитаем 3/4 + 5/6.

Знаменатели 4 и 6. НОК(4, 6) = 12 — берём его, а не 24, чтобы числа были меньше.

Дополнительные множители: 12 : 4 = 3 и 12 : 6 = 2. Значит 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12.

Складываем числители: 9/12 + 10/12 = 19/12. НОД(19, 12) = 1 — дробь уже несократима.

Выделяем целую часть: 19/12 = 1 7/12. Прикидка: 3/4 ≈ 0.75, 5/6 ≈ 0.83, сумма ≈ 1.58, и 1 7/12 ≈ 1.58 ✓

Где применяется

Дроби — сквозная тема: без них не решаются задачи на части и проценты (ОГЭ), тригонометрия и логарифмы (ЕГЭ профиль), пределы и интегралы в вузе. В физике дробями записывают КПД, передаточные отношения и вероятности; в химии — стехиометрические коэффициенты. В англоязычных программах (IB, AP, SAT) это fractions, а несократимая дробь — fraction in lowest terms: там за неприведённый ответ тоже снимают балл.

Частые ошибки

Складывают «числитель с числителем, знаменатель со знаменателем»: 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Так работает только умножение.
При вычитании забывают перенести знак на весь числитель второй дроби: a/b − (c+d)/e — минус относится и к c, и к d.
Сокращают через слагаемое, а не через множитель: в (3 + 6)/3 тройку сократить нельзя, сначала считают сумму.
При делении переворачивают первую дробь вместо второй.
Оставляют ответ вида 18/24 — формально верно, но на экзамене требуют 3/4.