Что это и что показывает
Линейное уравнение — простейшее уравнение с неизвестным в первой степени: ax + b = 0. Калькулятор находит его корень и отдельно разбирает вырожденный случай a = 0, о котором на экзамене чаще всего и спрашивают. Геометрически корень — это точка, где прямая y = ax + b пересекает ось x.
Формула и откуда она
x = −b / a (при a ≠ 0)
Вывод в две строки: переносим b вправо — ax = −b — и делим обе части на a. Деление законно только когда a ≠ 0, поэтому случай a = 0 рассматривают отдельно:
a = 0,b ≠ 0: получаетсяb = 0— неверное равенство, корней нет (прямая горизонтальна и осьxне пересекает);a = 0,b = 0: получается0 = 0— верно при любомx, значит корней бесконечно много.
Как посчитать вручную (по шагам)
- Раскройте скобки и приведите подобные — уравнение должно принять вид
ax + b = 0. - Соберите все слагаемые с
xслева, все числа — справа, не забывая менять знак при переносе. - Проверьте коэффициент
a: если он оказался нулём, ответ даёт разбор вырожденного случая выше. - Разделите обе части на
a. - Подставьте найденный корень в исходное уравнение — это ловит ошибку знака за секунду.
Разбор примера
Решим 3(x − 2) = 5x + 4.
Раскрываем скобки: 3x − 6 = 5x + 4.
Переносим: 3x − 5x = 4 + 6, то есть −2x = 10. Здесь a = −2, b = −10 в записи ax + b = 0.
Делим: x = 10 / (−2) = −5.
Проверка: слева 3(−5 − 2) = 3·(−7) = −21, справа 5·(−5) + 4 = −25 + 4 = −21 ✓
Где применяется
Линейное уравнение — первый шаг почти любой текстовой задачи: движение (s = vt), работа, смеси и сплавы, проценты. В ОГЭ это задания 9 и 21, в ЕГЭ оно встречается внутри более сложных задач как последний шаг. В физике к нему сводятся закон Ома, второй закон Ньютона при постоянной силе и уравнение равномерного движения; в экономике — точка безубыточности. Разбор случая a = 0 — типовой вопрос про «уравнение с параметром».
Частые ошибки
- Переносят слагаемое, не меняя знак: из
3x − 6 = 0получают3x = −6. - Делят на
a, не проверив, чтоa ≠ 0— на задачах с параметром это стоит всего балла. - Забывают, что при делении на отрицательное число знак корня меняется.
- Считают, что «корней нет» и «корень равен нулю» — одно и то же.
x = 0— это полноценный корень. - Раскрывают скобку перед минусом без смены знаков:
−(x − 3) = −x + 3, а не−x − 3.