Степень и корень

Q: Чему равно отрицательное число в дробной степени?

В общем случае это уже не действительное число, поэтому такие выражения обходят. Корни из отрицательных чисел корректно определяются только для нечётной степени или в комплексных числах.

Power & Root

xⁿ и корень n-й степени.

Степень xⁿ — это умножение числа x само на себя n раз. Корень ⁿ√x — обратная операция: какое число в степени n даёт x . Калькулятор вычисляет степени и корни любой кратности и опирается на единый язык дробных показателей, где корень — это степень с дробным показателем.

Что считает: Степень xⁿ — это умножение числа x само на себя n раз. Корень ⁿ√x — обратная операция: какое число в степени n даёт x . Калькулятор вычисляет степени и корни любой кратности и опирается на единый язык дробных показателей, где корень — это степень с дробным показателем.
Раздел: ∑ Математика
Что на выходе: Результат + формула + пошаговое решение + разбор примера
Стоимость: Бесплатно, без регистрации, прямо в браузере

Как это работает

Возведение в степень и обратная операция — корень: ⁿ√x = x^(1/n).

Что это и что показывает

Степень xⁿ — это умножение числа x само на себя n раз. Корень ⁿ√x — обратная операция: какое число в степени n даёт x. Калькулятор вычисляет степени и корни любой кратности и опирается на единый язык дробных показателей, где корень — это степень с дробным показателем.

Формула и откуда она

Определение: xⁿ = x · x · … · x (n множителей). Корень как дробная степень: ⁿ√x = x^(1/n).

Ключевые свойства степеней:

xᵃ · xᵇ = x^(a+b) xᵃ / xᵇ = x^(a−b) (xᵃ)ᵇ = x^(a·b)

x⁰ = 1 x^(−n) = 1 / xⁿ

Почему корень — это степень 1/n? По правилу (x^(1/n))ⁿ = x^(n/n) = x¹ = x — то есть x^(1/n), возведённое в n-ю степень, даёт x, а это и есть определение корня.

Как посчитать вручную (по шагам)

Для целой степени перемножьте основание само на себя нужное число раз.
Отрицательный показатель означает «единица делить на ту же степень».
Для корня ⁿ√x найдите число, которое в n-й степени даёт x.
Дробную степень x^(m/n) читайте как ⁿ√(xᵐ) — сначала корень или сначала степень, результат тот же.
Упрощайте выражения свойствами, прежде чем считать.

Разбор примера

Вычислим 8^(2/3). Это (³√8)².

Кубический корень: ³√8 = 2 (так как 2³ = 8). Возводим в квадрат: 2² = 4.

Проверка другим путём: 8² = 64, затем ³√64 = 4 ✓ — порядок не важен.

Отрицательная степень: 2^(−3) = 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125.

Где применяется

Степени описывают рост и масштаб: площадь (²), объём (³), сложные проценты, экспоненциальный рост, научная запись больших чисел. В ОГЭ и ЕГЭ это преобразование выражений (задания на степени и корни), в IB Mathematics — laws of exponents и surds, в AP — экспоненциальные функции. Дробные степени — мост между алгеброй и анализом.

Частые ошибки

Складывают основания вместо показателей: x² · x³ = x⁵, а не x⁶ и не (2x)⁵.
Считают x⁰ = 0 — на самом деле любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
Трактуют x^(−2) как отрицательное число, хотя это 1/x² (всегда положительно при действительном x).
Извлекают корень чётной степени из отрицательного числа — в действительных числах это не определено.
Путают (xᵃ)ᵇ = x^(a·b) со степенью степени, добавляя показатели вместо умножения.

Частые вопросы

Почему корень — это дробная степень?

Корень n-й степени по определению обратен возведению в n-ю степень, а это в точности степень 1/n: ⁿ√x = x^(1/n). Например, √x = x^(0,5).

Чему равно число в нулевой и отрицательной степени?

Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, а отрицательная степень — это единица, делённая на положительную: x^(−n)=1/xⁿ.

Почему калькулятор не даёт корень из отрицательного числа?

Чётный корень из отрицательного числа не существует среди действительных чисел: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому при x<0 выводится только степень, без корня.

Чему равно отрицательное число в дробной степени?

В общем случае это уже не действительное число, поэтому такие выражения обходят. Корни из отрицательных чисел корректно определяются только для нечётной степени или в комплексных числах.

Проекты сети