Что это и что показывает
Здесь рассматривается правильная пирамида с квадратом в основании: сторона основания a и высота h, опущенная из вершины в центр квадрата. Калькулятор находит объём, апофему (высоту боковой грани), боковую и полную поверхность. Я Владимир, преподаю математику; пирамида — финальная фигура школьной стереометрии и стабильный гость второй части ЕГЭ.
Формула
Объём: V = a² · h ⁄ 3. Апофема: m = √(h² + (a⁄2)²). Боковая поверхность: Sбок = 2 · a · m. Полная поверхность: Sполн = a² + 2 · a · m.
Общее правило: объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту. Здесь основание — квадрат площадью a², поэтому V = a²·h⁄3. Апофема — гипотенуза треугольника из высоты h и половины стороны a⁄2.
Как посчитать вручную (по шагам)
- Найдите площадь основания:
a². - Умножьте на высоту
hи разделите на 3 — это объём. - Найдите апофему:
m = √(h² + (a⁄2)²). - Боковая поверхность — четыре треугольника:
Sбок = 4 · (½·a·m) = 2·a·m. - Полная поверхность добавляет квадрат основания:
Sполн = a² + 2·a·m.
Пример
Сторона основания a = 6, высота h = 4.
Объём: V = 6² · 4 ⁄ 3 = 36 · 4 ⁄ 3 = 144 ⁄ 3 = 48 куб. ед.
Апофема: m = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 ед. (половина стороны равна 3).
Боковая: Sбок = 2 · 6 · 5 = 60 кв. ед.
Полная: Sполн = 6² + 60 = 36 + 60 = 96 кв. ед.
Где применяется
Пирамида — частая фигура стереометрии ОГЭ и ЕГЭ, особенно в заданиях второй части на объём и угол между гранями. В быту это объём шатра, кровли-пирамиды, расход материала на боковые скаты. В архитектуре и истории — египетские пирамиды, чьи пропорции часто разбирают на уроках. В IB/AP — volume of a pyramid и slant height (апофема).
Осторожно
- Путают высоту пирамиды
hи апофемуm: в площадь боковой поверхности идёт апофема. - Забывают делить на 3 в объёме — считают объём призмы.
- В апофему подставляют целую сторону
aвместо половиныa⁄2. - Применяют эти формулы к наклонной или треугольной пирамиде — поверхность там считается иначе.