Теорема Пифагора

Q: Как найти катет, зная гипотенузу и второй катет?

Из a²+b²=c² выражаем неизвестный катет: a=√(c²−b²) . Подкоренное выражение положительно, потому что гипотенуза всегда больше любого катета.

Q: Что такое пифагоровы тройки?

Это наборы целых чисел, удовлетворяющих a²+b²=c² : например 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Их удобно узнавать на экзамене, чтобы не извлекать корни вручную.

Q: Почему гипотенуза не может быть меньше катета?

Поскольку c²=a²+b² , квадрат гипотенузы — это сумма двух положительных квадратов, поэтому он всегда больше каждого из них. Если вы ввели гипотенузу меньше катета, такого треугольника не существует.

Pythagorean Theorem

a² + b² = c². Заполните любые два катета/гипотенузу.

Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Она утверждает: квадрат гипотенузы (стороны напротив прямого угла) равен сумме квадратов двух катетов. Зная две стороны, калькулятор находит третью — это базовый инструмент для измерения расстояний, диагоналей и высот.

Что считает: Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Она утверждает: квадрат гипотенузы (стороны напротив прямого угла) равен сумме квадратов двух катетов. Зная две стороны, калькулятор находит третью — это базовый инструмент для измерения расстояний, диагоналей и высот.
Раздел: ∑ Математика
Что на выходе: Результат + формула + пошаговое решение + разбор примера
Стоимость: Бесплатно, без регистрации, прямо в браузере

Как это работает

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a²+b²=c².

Что это и что показывает

Формула и откуда она

a² + b² = c², где c — гипотенуза, a и b — катеты.

Интуиция: на каждой стороне треугольника построим квадрат. Площадь большого квадрата (на гипотенузе) в точности равна сумме площадей двух меньших. Чтобы найти гипотенузу: c = √(a² + b²). Чтобы найти катет, зная гипотенузу: a = √(c² − b²).

Как посчитать вручную (по шагам)

Определите, что ищете: гипотенузу или катет.
Возведите известные стороны в квадрат.
Для гипотенузы — сложите квадраты катетов.
Для катета — вычтите из квадрата гипотенузы квадрат известного катета.
Извлеките квадратный корень из результата.

Разбор примера

Катеты a = 3 и b = 4. Найдём гипотенузу.

c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, значит c = √25 = 5.

Это знаменитый «египетский» треугольник 3-4-5. Проверим обратную задачу: если c = 5, b = 4, то a = √(25 − 16) = √9 = 3 ✓.

Где применяется

Расстояние между точками на плоскости — это прямое следствие теоремы (d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)). Она нужна в строительстве (проверка прямого угла «3-4-5»), навигации, физике (разложение вектора), геометрии ОГЭ и ЕГЭ. В IB и AP это Pythagorean theorem и distance formula. На ней же стоят тригонометрия и теорема косинусов.

Частые ошибки

Применяют теорему к не-прямоугольному треугольнику — она работает только при угле 90°.
Складывают стороны без возведения в квадрат: 3 + 4 = 7 ≠ 5.
При поиске катета складывают вместо вычитания: гипотенуза всегда самая длинная сторона.
Забывают извлечь корень и оставляют ответ в виде c² = 25 вместо c = 5.

Частые вопросы

Когда применима теорема Пифагора?

Только для прямоугольного треугольника — где есть угол ровно 90°. Гипотенуза c всегда лежит против прямого угла и является самой длинной стороной.

Как найти катет, зная гипотенузу и второй катет?

Из a²+b²=c² выражаем неизвестный катет: a=√(c²−b²). Подкоренное выражение положительно, потому что гипотенуза всегда больше любого катета.

Что такое пифагоровы тройки?

Это наборы целых чисел, удовлетворяющих a²+b²=c²: например 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Их удобно узнавать на экзамене, чтобы не извлекать корни вручную.

Почему гипотенуза не может быть меньше катета?

Поскольку c²=a²+b², квадрат гипотенузы — это сумма двух положительных квадратов, поэтому он всегда больше каждого из них. Если вы ввели гипотенузу меньше катета, такого треугольника не существует.

Проекты сети