Что это и что показывает
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Она утверждает: квадрат гипотенузы (стороны напротив прямого угла) равен сумме квадратов двух катетов. Зная две стороны, калькулятор находит третью — это базовый инструмент для измерения расстояний, диагоналей и высот.
Формула и откуда она
a² + b² = c², где c — гипотенуза, a и b — катеты.
Интуиция: на каждой стороне треугольника построим квадрат. Площадь большого квадрата (на гипотенузе) в точности равна сумме площадей двух меньших. Чтобы найти гипотенузу: c = √(a² + b²). Чтобы найти катет, зная гипотенузу: a = √(c² − b²).
Как посчитать вручную (по шагам)
- Определите, что ищете: гипотенузу или катет.
- Возведите известные стороны в квадрат.
- Для гипотенузы — сложите квадраты катетов.
- Для катета — вычтите из квадрата гипотенузы квадрат известного катета.
- Извлеките квадратный корень из результата.
Разбор примера
Катеты a = 3 и b = 4. Найдём гипотенузу.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, значит c = √25 = 5.
Это знаменитый «египетский» треугольник 3-4-5. Проверим обратную задачу: если c = 5, b = 4, то a = √(25 − 16) = √9 = 3 ✓.
Где применяется
Расстояние между точками на плоскости — это прямое следствие теоремы (d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)). Она нужна в строительстве (проверка прямого угла «3-4-5»), навигации, физике (разложение вектора), геометрии ОГЭ и ЕГЭ. В IB и AP это Pythagorean theorem и distance formula. На ней же стоят тригонометрия и теорема косинусов.
Частые ошибки
- Применяют теорему к не-прямоугольному треугольнику — она работает только при угле 90°.
- Складывают стороны без возведения в квадрат:
3 + 4 = 7 ≠ 5. - При поиске катета складывают вместо вычитания: гипотенуза всегда самая длинная сторона.
- Забывают извлечь корень и оставляют ответ в виде
c² = 25вместоc = 5.