Квадратное уравнение

Что это и что показывает

Квадратное уравнение — это равенство вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Калькулятор находит его корни — те значения x, при которых левая часть обращается в ноль. Геометрически это точки, где парабола y = ax² + bx + c пересекает ось x. Корней может быть два, один или ни одного (в действительных числах) — это решает дискриминант.

Формула и откуда она

Главная величина — дискриминант: D = b² − 4ac. Корни даёт формула:

x = (−b ± √D) / (2a)

Откуда она? Делим всё на a и «достраиваем до полного квадрата»: x² + (b/a)x + c/a = 0 переписываем как (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a². Извлекаем корень из обеих частей и получаем формулу. Если D > 0 — два корня, если D = 0 — один (двойной), если D < 0 — действительных корней нет.

Как посчитать вручную (по шагам)

1. Приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0 и выпишите a, b, c с их знаками.
2. Вычислите дискриминант D = b² − 4ac.
3. Посмотрите на знак D: при D < 0 действительных корней нет — стоп.
4. Извлеките √D.
5. Подставьте в формулу: x₁ = (−b + √D)/(2a) и x₂ = (−b − √D)/(2a).
6. Проверьте корни по теореме Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.

Где применяется

Квадратные уравнения — это база школьной алгебры (ОГЭ задание 9 и 20, ЕГЭ профиль) и фундамент для физики (высота брошенного тела, время полёта), экономики (точка безубыточности) и геометрии. В IB Mathematics и AP Precalculus та же формула называется the quadratic formula, а дискриминант — discriminant. Без неё не обойтись при поиске вершины параболы и решении систем.