Объём и площадь параллелепипеда

Q: Чем параллелепипед отличается от куба?

Куб — частный случай: все рёбра равны ( a = b = c ). У параллелепипеда измерения могут быть разными.

Rectangular Box

V = a·b·c, полная поверхность и диагональ по трём измерениям.

Прямоугольный параллелепипед (коробка) — тело с тремя измерениями: длиной a , шириной b и высотой c ; все углы прямые. Калькулятор находит объём, полную площадь поверхности и пространственную диагональ. Я Владимир, преподаю математику; это самая практичная фигура — от объёма комнаты до раскроя упаковки.

Что считает: Прямоугольный параллелепипед (коробка) — тело с тремя измерениями: длиной a , шириной b и высотой c ; все углы прямые. Калькулятор находит объём, полную площадь поверхности и пространственную диагональ. Я Владимир, преподаю математику; это самая практичная фигура — от объёма комнаты до раскроя упаковки.
Раздел: ∑ Математика
Что на выходе: Результат + формула + пошаговое решение + разбор примера
Стоимость: Бесплатно, без регистрации, прямо в браузере

Как это работает

Прямоугольный параллелепипед (коробка) задаётся тремя измерениями a, b, c. Объём V = a·b·c. Поверхность — три пары противоположных граней: S = 2(ab + bc + ac). Пространственная диагональ d = √(a²+b²+c²). Единицы нейтральны: «ед.³» и «ед.²».

Что это и что показывает

Прямоугольный параллелепипед (коробка) — тело с тремя измерениями: длиной a, шириной b и высотой c; все углы прямые. Калькулятор находит объём, полную площадь поверхности и пространственную диагональ. Я Владимир, преподаю математику; это самая практичная фигура — от объёма комнаты до раскроя упаковки.

Формула

Объём: V = a · b · c. Полная поверхность: S = 2 · (a·b + b·c + a·c). Пространственная диагональ: d = √(a² + b² + c²).

Поверхность складывается из трёх пар противоположных граней ab, bc, ac — отсюда множитель 2. Диагональ — результат дважды применённой теоремы Пифагора.

Как посчитать вручную (по шагам)

Перемножьте три измерения: V = a · b · c.
Посчитайте площади трёх разных граней: ab, bc, ac.
Сложите их и удвойте — это полная поверхность.
Для диагонали возведите каждое измерение в квадрат и сложите.
Извлеките корень: d = √(a² + b² + c²).

Пример

Измерения a = 3, b = 4, c = 12.

Объём: V = 3 · 4 · 12 = 144 куб. ед.

Поверхность: S = 2 · (3·4 + 4·12 + 3·12) = 2 · (12 + 48 + 36) = 2 · 96 = 192 кв. ед.

Диагональ: d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 ед.

Где применяется

Параллелепипед — основа объёмных задач ОГЭ и ЕГЭ (стереометрия, координаты в пространстве). В быту это объём комнаты, бака, коробки; поверхность — расход краски или обоев; диагональ — поместится ли предмет «по диагонали». В физике через объём считают массу и плотность тел. В IB/AP — volume and surface area of a rectangular prism, space diagonal.

Осторожно

Забывают множитель 2 в площади — считают только три грани из шести.
В диагонали складывают сами измерения a + b + c вместо их квадратов.
Смешивают единицы (метры и сантиметры) в разных измерениях.
Путают параллелепипед с кубом и применяют a³ при разных a, b, c.

Частые вопросы

Чем параллелепипед отличается от куба?

Куб — частный случай: все рёбра равны (a = b = c). У параллелепипеда измерения могут быть разными.

Почему в площади коэффициент 2?

Каждая из трёх граней встречается дважды (на противоположных сторонах), поэтому сумма ab + bc + ac удваивается.

Как считается диагональ?

Это дважды применённая теорема Пифагора: сначала диагональ грани, затем — пространственная. Итог: d = √(a²+b²+c²).

Проекты сети