Объём и площадь шара

Q: Что вводить, если известен диаметр?

Радиус равен половине диаметра: r = d⁄2 . Разделите диаметр на 2 и введите результат.

Sphere

V = 4⁄3·π·r³ и площадь поверхности S = 4πr² по радиусу.

Шар — это объёмное тело, все точки которого удалены от центра не дальше радиуса r ; его поверхность называется сферой. Калькулятор по одному числу — радиусу — находит объём шара (сколько места он занимает) и площадь поверхности сферы (сколько материала на оболочку). Это две главные характеристики,…

Что считает: Шар — это объёмное тело, все точки которого удалены от центра не дальше радиуса r ; его поверхность называется сферой. Калькулятор по одному числу — радиусу — находит объём шара (сколько места он занимает) и площадь поверхности сферы (сколько материала на оболочку). Это две главные характеристики,…
Раздел: ∑ Математика
Что на выходе: Результат + формула + пошаговое решение + разбор примера
Стоимость: Бесплатно, без регистрации, прямо в браузере

Как это работает

Шар задаётся радиусом r. Объём V = 4⁄3·π·r³, площадь поверхности (сферы) S = 4πr². Единицы любые: введёте в см — объём в см³, площадь в см²; здесь подписано как «ед.³» и «ед.²».

Что это и что показывает

Шар — это объёмное тело, все точки которого удалены от центра не дальше радиуса r; его поверхность называется сферой. Калькулятор по одному числу — радиусу — находит объём шара (сколько места он занимает) и площадь поверхности сферы (сколько материала на оболочку). Это две главные характеристики, и обе зависят только от радиуса. Я Владимир, преподаю математику (МГУ), и на занятиях всегда подчёркиваю: путаница «шар или сфера» — первый источник ошибок в этой теме.

Формула

Объём шара: V = 4⁄3 · π · r³. Площадь поверхности сферы: S = 4 · π · r².

Запрос «объём шара формула» приводит именно к первой записи, а «площадь поверхности сферы» — ко второй. Обратите внимание на степени: в объёме радиус в кубе, в площади — в квадрате.

Как посчитать вручную (по шагам)

Если дан диаметр d, найдите радиус: r = d⁄2.
Для объёма возведите радиус в куб: r³ = r · r · r.
Умножьте на π и на 4⁄3.
Для площади возведите радиус в квадрат: r² = r · r.
Умножьте на 4π.
Округлите, используя π ≈ 3.14159.

Пример

Радиус r = 3.

Объём: V = 4⁄3 · π · 3³ = 4⁄3 · π · 27 = 36π ≈ 113.10 куб. ед.

Площадь: S = 4 · π · 3² = 4 · π · 9 = 36π ≈ 113.10 кв. ед.

Совпадение чисел здесь случайно (при r = 3) и помогает себя проверить.

Где применяется

Формулы шара — обязательная часть стереометрии в ОГЭ и ЕГЭ (профильная математика, задания на тела вращения). В быту это объём мяча, ёмкость бака-шара, расход краски на сферический купол. В физике через объём шара считают плотность планет и капель, через площадь сферы — поток и освещённость. В IB и AP это volume of a sphere и surface area.

Осторожно

Путают радиус и диаметр: в формулы идёт радиус, а не диаметр.
Возводят радиус в квадрат в формуле объёма — там нужен куб.
Забывают множитель 4⁄3 в объёме или множитель 4 в площади.
Считают площадь сферы как πr² (это площадь круга, а не поверхности шара).

Частые вопросы

Чем отличается шар от сферы?

Сфера — это поверхность (оболочка), а шар — тело вместе с внутренностью. Поэтому у сферы считают площадь, а у шара — объём; обе формулы зависят только от радиуса.

Что вводить, если известен диаметр?

Радиус равен половине диаметра: r = d⁄2. Разделите диаметр на 2 и введите результат.

В каких единицах получится ответ?

В тех же, что вы ввели: радиус в сантиметрах даёт объём в см³ и площадь в см². Калькулятор единично-нейтрален, поэтому подписи «ед.³» и «ед.²».

Проекты сети