Площадь треугольника

Q: Можно ли найти площадь по двум сторонам и углу между ними?

Да, по формуле S=½·a·b·sin(γ) , где γ — угол между сторонами a и b. Этот калькулятор работает с основанием-высотой и Героном, а вариант с углом разберём на занятии.

Triangle Area

По основанию и высоте или по трём сторонам (Герон).

Площадь треугольника — мера части плоскости внутри его границ. Калькулятор считает её двумя способами: через основание и высоту (если они известны) или по формуле Герона — только через три стороны. Второй способ незаменим, когда высоту измерить нельзя, а длины сторон известны.

Что считает: Площадь треугольника — мера части плоскости внутри его границ. Калькулятор считает её двумя способами: через основание и высоту (если они известны) или по формуле Герона — только через три стороны. Второй способ незаменим, когда высоту измерить нельзя, а длины сторон известны.
Раздел: ∑ Математика
Что на выходе: Результат + формула + пошаговое решение + разбор примера
Стоимость: Бесплатно, без регистрации, прямо в браузере

Как это работает

Площадь треугольника: через основание и высоту S=½bh, либо по трём сторонам формулой Герона с полупериметром p=(a+b+c)/2.

Что это и что показывает

Формула и откуда она

Базовая формула: S = ½ · a · h, где a — основание, h — высота к нему. Она следует из того, что треугольник — это половина параллелограмма с теми же основанием и высотой.

Формула Герона по трём сторонам: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где полупериметр p = (a + b + c) / 2. Она выводится из теоремы косинусов и не требует знать ни одной высоты или угла.

Как посчитать вручную (по шагам)

Если известны основание и высота — просто умножьте их и разделите на 2.
Если известны три стороны — сложите их и разделите на 2, получив полупериметр p.
Вычислите три разности: p − a, p − b, p − c.
Перемножьте p со всеми тремя разностями.
Извлеките квадратный корень из произведения.

Разбор примера

Стороны a = 13, b = 14, c = 15. По Герону.

Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21.

Разности: 21 − 13 = 8, 21 − 14 = 7, 21 − 15 = 6.

Площадь: S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.

Проверка через высоту: к стороне 14 высота h = 2S/a = 168/14 = 12, тогда S = ½ · 14 · 12 = 84 ✓.

Где применяется

Площади треугольников нужны в геодезии (разбиение участка на треугольники), архитектуре, компьютерной графике (треугольные сетки) и физике. В ОГЭ и ЕГЭ это планиметрия (задания 15–16, 24–26), а формула Герона — частый приём, когда углы неизвестны. В IB Mathematics встречается area of a triangle через ½ab·sin C — родственная формула через две стороны и угол между ними.

Частые ошибки

Берут высоту не к тому основанию: высота должна быть перпендикуляром именно к выбранной стороне.
Забывают делить на 2 в базовой формуле — получают площадь параллелограмма.
В формуле Герона используют периметр вместо полупериметра.
Подставляют стороны, не удовлетворяющие неравенству треугольника (a + b > c) — подкоренное выражение станет отрицательным.

Частые вопросы

Какую высоту брать в формуле S=½bh?

Высоту, опущенную именно на то основание, которое вы подставляете, — то есть перпендикуляр от противоположной вершины к этому основанию. Высота и основание должны быть согласованной парой.

Когда удобнее формула Герона?

Когда известны все три стороны, но не известна ни одна высота. Формула S=√(p(p−a)(p−b)(p−c)) с полупериметром p=(a+b+c)/2 даёт площадь сразу по сторонам.

Почему появляется ошибка про неравенство треугольника?

Треугольник существует, только если каждая сторона меньше суммы двух других. Если, например, a+b≤c, стороны не сомкнутся в треугольник, и площади просто нет.

Можно ли найти площадь по двум сторонам и углу между ними?

Да, по формуле S=½·a·b·sin(γ), где γ — угол между сторонами a и b. Этот калькулятор работает с основанием-высотой и Героном, а вариант с углом разберём на занятии.

Проекты сети