Производная функции (символьно)

Q: Как записывать функцию в поле ввода?

Операторы — + − * / ^ (степень через ^), функции — sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs . Например, произведение пишут явно: x^2*sin(x) , а не x^2 sin(x) .

Q: Что такое цепное правило?

Правило дифференцирования сложной функции: производная f(g(x)) равна f′(g(x))·g′(x) . Например, у sin(x²) производная равна cos(x²)·2x — библиотека применяет это автоматически.

Symbolic Derivative

f′(x) в виде формулы для любого выражения — sin, cos, eˣ, ln, степени, цепное правило.

Здесь результат — не число, а формула : калькулятор дифференцирует выражение по правилам и выдаёт f′(x) в общем виде. Это то, что требуется на экзамене: в ЕГЭ и IB ответ «производная равна 6» не годится там, где спрашивают саму функцию производной. Дополнительно можно указать точку x₀ и сразу…

Что считает: Здесь результат — не число, а формула : калькулятор дифференцирует выражение по правилам и выдаёт f′(x) в общем виде. Это то, что требуется на экзамене: в ЕГЭ и IB ответ «производная равна 6» не годится там, где спрашивают саму функцию производной. Дополнительно можно указать точку x₀ и сразу…
Раздел: ∑ Математика
Что на выходе: Результат + формула + пошаговое решение + разбор примера
Стоимость: Бесплатно, без регистрации, прямо в браузере

Как это работает

В отличие от численной производной, здесь результат — формула f′(x), а не число. Дифференцирование символьное: применяются правила суммы, произведения, частного и цепное правило. Тяжёлая CAS-библиотека (math.js) подгружается лениво только на этой странице и работает целиком в браузере — серверу считать ничего не нужно. Заполните точку x₀, чтобы заодно получить значения f и f′ в ней.

Что это и что показывает

Здесь результат — не число, а формула: калькулятор дифференцирует выражение по правилам и выдаёт f′(x) в общем виде. Это то, что требуется на экзамене: в ЕГЭ и IB ответ «производная равна 6» не годится там, где спрашивают саму функцию производной. Дополнительно можно указать точку x₀ и сразу получить значение — например, чтобы написать уравнение касательной.

Формула и откуда она

Символьное дифференцирование — это последовательное применение конечного набора правил.

Степень: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Сумма: (u + v)′ = u′ + v′, константа выносится: (c·u)′ = c·u′
Произведение: (u·v)′ = u′v + uv′
Частное: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v²
Цепное правило: [u(v(x))]′ = u′(v) · v′(x)
Основные функции: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x

Все они выводятся из определения через предел, но на практике их применяют как готовый инструмент. Тяжёлая часть работы — цепное правило: именно на нём теряются баллы.

Как посчитать вручную (по шагам)

Разберите выражение на структуру: что это в целом — сумма, произведение, частное или сложная функция?
Примените правило верхнего уровня, оставив внутренние части нетронутыми.
Спускайтесь внутрь: для каждой части повторите тот же разбор.
Для сложной функции обязательно допишите множитель — производную внутренней функции.
Приведите подобные и вынесите общий множитель — так ответ совпадёт с формой из ответов.
Проверьте себя численно: производная в точке должна дать то же значение, что ваша формула после подстановки.

Разбор примера

Продифференцируем f(x) = x² · sin(3x).

Верхний уровень — произведение u = x² и v = sin(3x). По правилу произведения: f′ = u′v + uv′.

u′ = 2x. Для v = sin(3x) работает цепное правило: внешняя функция — синус, её производная cos(3x); внутренняя — 3x, её производная 3. Значит v′ = 3cos(3x).

Собираем: f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x²·cos(3x).

Проверка в точке x = 1: формула даёт 2·sin3 + 3·cos3 ≈ 2·0.1411 + 3·(−0.99) ≈ −2.688; численная производная в той же точке даёт ≈ −2.688 ✓

Где применяется

Производная в виде формулы нужна везде, где функцию исследуют, а не считают в одной точке: поиск максимума и минимума (ЕГЭ профиль, задание на исследование функции), уравнение касательной, точки перегиба, задачи на оптимизацию («какие размеры коробки дают наибольший объём»). В физике производная координаты — скорость, производная скорости — ускорение; в экономике производная выручки — предельная выручка. В IB это differentiation, в AP Calculus AB/BC — derivative rules и chain rule.

Частые ошибки

Забывают цепное правило: пишут (sin 3x)′ = cos 3x вместо 3cos 3x. Это ошибка номер один.
Дифференцируют произведение как u′·v′ — правило произведения выглядит иначе.
В правиле частного меняют местами слагаемые в числителе: правильный порядок u′v − uv′, знак важен.
Считают (x²)′ = x, теряя коэффициент: показатель сначала выносится множителем.
Дифференцируют eˣ как x·eˣ⁻¹, путая степенную функцию с показательной.

Частые вопросы

Как записывать функцию в поле ввода?

Операторы — + − * / ^ (степень через ^), функции — sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs. Например, произведение пишут явно: x^2*sin(x), а не x^2 sin(x).

Что означает ln в этом калькуляторе?

Это натуральный логарифм по основанию e. Внутри он приводится к log библиотеки math.js, где log без основания тоже означает натуральный логарифм.

Что такое цепное правило?

Правило дифференцирования сложной функции: производная f(g(x)) равна f′(g(x))·g′(x). Например, у sin(x²) производная равна cos(x²)·2x — библиотека применяет это автоматически.

Почему результат отличается от записи из учебника?

Система упрощает выражение по своим правилам, поэтому форма ответа может отличаться от привычной, оставаясь равной ей. Раскройте скобки или приведите подобные — и обе записи совпадут.

Проекты сети